Teoría de Colisiónes

Ahora abordaremos la teoría de colisiónes, (al menos lo que necesitamos según nuestro propósito) para llegar  la idea de sección eficaz de corte y como se relaciona con la amplitud. 

El experimento de colisión o dispersión (scattering, en ingles), constituye una herramienta poderosa para investigar la estructura de los objetos atómicos, en este tipo de experimentos se lanza un haz de proyectiles, tales como electrones y protones, sobre un objeto que hace de blanco (un núcleo atómico como en el experimento de Rutherford por ejemplo), y observando la distribución de los proyectiles dispersados (desviados) cuando salen de la colisión, es posible obtener  información sobre el blanco y sus interacciones con el proyectil.

Experimento de Rutherford:

  

 Puedes ver esta y otras simulaciones en: https://phet.colorado.edu/en/simulations/filter?subjects=physics&sort=alpha&view=grid

Angulo de dispersión y parámetro de impacto

El  ángulo de dispersión  $\theta$ (theta) se define como el ángulo entre las velocidades de entra y de salida, el parámetro de impacto b es la distancia perpendicular desde la trayectoria de entrada en linea recta del proyectil, hasta un eje paralelo que pasa el centro del blanco como se muestra en la siguiente figura.

Para un valor dado de b habrá un único valor correspondiente de  $\theta$, y nos encontraremos de hecho, con  la tarea de hallar una expresión que relaciona el ángulo con el parámetro de impacto. 

$\theta=\theta[b] $ 

Pero dado que en nuestro interes (colisiones de particulas) es imposble medir el parametro de impacto pues no podemos ver a escalas atomicas, tenemos esta imposibilidad que nos lleva a la nocion de seccion eficaz de colisión.

Sección eficaz de colisión 

Si podemos observar muchas colisiones de proyectiles y blancos similares, entonces podremos investigar la naturaleza de los proyectiles, los blancos y sus interacciones, podemos calcular la probabilidad que al lanzar nuestra particula acierte en algun blanco (nuestro caso el blanco seria el nucleo por ejemplo, imagia el experimento de Rutherford), si los blancos estan colocados al azar y son muy numerosos (para poder aplicar estadistica) vamos a definir la densidad de blancos como el numero de blancos por área, y tambien la sección eficaz de cada blanco, entonces el área total de blancos seria:

$$\rho_{blancos}A\sigma$$

Entonces en resumen: 

$$probabilidad. de .colision= \frac{\rho_{blancos}A\sigma}{A}=\rho_{blancos} \sigma$$

Entonces si enviamos un haz que tiene muchas particulas, podemos calcular el numero de proyectiles dispersados de la siguiente forma:

$$N_{dispersados}=N_{incidentes}\rho_{blancos} \sigma$$ 

Para el caso de el scattering que nos interesa (atomos, vrs haz de particulas) depende de nuestro sistema las particulas pueden ser capturadas , dispersadas , incluso podemos ionizar el atomo, entonces tendriamos que incluir cada una de esas posibilidades en nuestra ecuacion:

$$N_{total}= N_{incidente}\rho_{blancos} \sigma_{total}$$

$$N_{total}= N_{capturadas}+N_{dispersadas}+N_{ionizadas}$$

$$ \sigma_{total} = \sigma_{capturadas}+ \sigma_{dispersadas} +  \sigma_{ionizada}$$

Para terminar esta primera parte es importante mencionar que la secciones eficaces que hemos definido varian con la energia del proyectil incidente.

Nuestro siguiente tema a abordar en esta seccion de coliciones sera presisamente estudiar esta sección eficaz diferencial.

Sección eficaz diferencial de dispersión 

 La idea de esta parte es mostrar que la sección eficaz de dispersión, esta relacionada con la dinamica de la  interacción que estemos estudiando, para asi dar el paso al estudio de la teoria de interación necesaria para predecir lo que el experimento registra, y finalmente llegar a los metodos practicos para calularlos.

Volvemos a la idea de dispersión, si lanzamos muchas particulas a una lamina delgada de oro (como en el experimento de Rutherford) tendremos un gran numero de particulas dispersadas, (particulas que cambian de dirrecion debido a la interaccion entre las particulas lanzadas y el nucleo) que saldrian en desbiadas de sus trayectorias rectas originales formando un cono ya que la dispercion se manifiesta en todos la ejes coordenados (x,y,z) como podemos ver en la imagen:

Por tanto la sección eficaz de dispersión esta relacionada con el angulo solido formado de tal forma como: $$\frac{d \sigma}{d \Omega}$$
Centremonos en descrubir la forma de $d\sigma$ , las particulas estarian en la seccion que forma un anillo oscuro que vemos en la figura de arriba , para calcular esa seccion oscura es decir el area y despresiando los terminos cuadraticos ya que son pequeños :
$$d\sigma = \pi (b + db)^2 -\pi b^2 =\pi(b^2 +2 b db+db^2 -b^2) \simeq 2\pi b db $$
Ahora trabajamos con $d\Omega$ esta la encontramos recordando la seccion diferencial en coordenadas esfericas $Sen[\theta]d\phi d\theta $ teniendo en cuenta que $\phi $ es la circunferencia completa tal que: $$d\Omega=2\pi Sen[\theta] d\theta$$
Al unir ambas expresiones tenemos:
$$\frac{d\sigma}{d\Omega}=\frac{b }{Sen[\theta]} \frac{db}{d\theta}$$

Ahora debemos encontrar una expresión para: $\frac{db}{d\theta}$ esto lo haremos tomando encuenta la idea de fuerza central y momento angular.
 Si  vemos la figura  al principio de esta pagina podemos sacar que:
$$Sen[\theta]=\frac{b}{r}$$
Siendo r la distancia entre el nucleo y la particula que interaciona $b=rSen[\theta]$ y $\frac{db}{d\theta}=rCos[\theta] $
tenemos entonces: $$\frac{d\sigma}{d\Omega}= r \frac{db}{d\theta}=r^2 Cos[\theta]$$

Fuerzas centrales 

Una fuerza central es aquella que solo depende de la distancia entre los cuerpos en interacion algo de la forma:$$F=\frac{\gamma}{r^2}$$ entonces sacamos que:

 $$\frac{d\sigma}{d\Omega}= r^2 Cos[\theta]=\frac{\gamma}{F}Cos[\theta]$$

por otro lado $F=m\frac{v^2}{r}=\frac{2E}{r} $ y tambien $mr^2 \omega=l$

 $$d\sigma=\sqrt{\frac{l}{m \omega}} \frac{\gamma }{2E} Cos[\theta] d\Omega$$

podemos cambiar $d\Omega$ asi:

$$d \sigma=\sqrt{\frac{l}{m \omega}}\frac{\gamma }{2E} Cos[\theta]2\pi Sen[\theta] d\theta$$

Finalmente :$$d \sigma=\sqrt{\frac{l}{m \omega}}\frac{2 \pi \gamma }{E}  Sen[2\theta] d\theta$$

Recordamos que la idea de esta parte es básicamente mostrar de alguna manera la relación entre la sección transversal con la dinámica de la interacción entre las partículas lanzadas y el blanco, puedes buscar mas detalles de todo lo anterior en el libro de mecanica clasica John R. Taylor en la seccion de colisiónes, como vemos nuestra siguiente tarea será abordar la teoría electromagnética para describir bien nuestra sección transversal ya que hay que recordar que debemos hacer un análisis relativista.